Условие
Две окружности имеют единственную общую точку M. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках A и A₁, а другую — в точках B и B₁. Докажите, что AA₁ ∥ BB₁.
Разбор задания
Номер 817 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Окружности касаются в точке M; проведём общую касательную ℓ в точке M. Точки A и B лежат на одной секущей, A₁ и B₁ — на другой.
- Угол между касательной ℓ и хордой MA первой окружности равен вписанному углу MA₁A; угол между ℓ и хордой MB второй окружности равен вписанному углу MB₁B. Хорды MA и MB лежат на одной прямой, поэтому эти углы с прямой ℓ равны (это один и тот же угол при внешнем касании — вертикальные углы, при внутреннем — совпадающие).
- Значит, ∠MA₁A = ∠MB₁B. Это соответственные (при внутреннем касании) или накрест лежащие (при внешнем) углы при прямых AA₁, BB₁ и секущей A₁B₁, поэтому AA₁ ∥ BB₁.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →