Номер 818 — Геометрия 11 класс

Окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Прямая AC — касательная к окружности с центром O₁ (C — на второй окружности), а прямая BD — касательная к окружности с центром O₂ (D — на первой окружности) (рис. 208). Докажите, что: а) AD ∥ BC; б) AB² = AD·BC; в) BD² : AC² = AD : BC.

1. BD касается второй окружности в точке B, а AB — её хорда, поэтому ∠DBA = ∠BCA (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду). AC касается первой окружности в A, AB — её хорда: ∠CAB = ∠ADB.
2. а) В треугольнике ABD: ∠DAB = 180° − ∠ADB − ∠DBA = 180° − ∠CAB − ∠BCA = ∠ABC. Углы DAB и ABC — накрест лежащие при прямых AD, BC и секущей AB, значит AD ∥ BC.
3. б) Треугольники BAD и CBA подобны по двум углам (∠DBA = ∠BCA, ∠ADB = ∠CAB): BA/CB = AD/BA = BD/CA. Из первого равенства AB² = AD·BC.
4. в) Из BD/CA = AD/BA и BD/CA = BA/CB перемножением получаем BD²/CA² = AD/CB.