Условие
Точка M лежит внутри четырёхугольника ABCD. Докажите, что ∠AMD = ∠ABM + ∠MCD тогда и только тогда, когда окружности, описанные около треугольников ABM и MCD, имеют в точке M общую касательную.
Разбор задания
Номер 819 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Проведём через M касательную ℓ к окружности ABM и обозначим через MK её луч, лежащий внутри угла AMD (по другую сторону от AB, чем B). По теореме об угле между касательной и хордой ∠AMK = ∠ABM.
- Если окружности имеют в M общую касательную, то ℓ касается и окружности MCD, и по той же теореме ∠KMD = ∠MCD. Тогда ∠AMD = ∠AMK + ∠KMD = ∠ABM + ∠MCD.
- Обратно, пусть ∠AMD = ∠ABM + ∠MCD. Так как ∠AMK = ∠ABM, то ∠KMD = ∠AMD − ∠AMK = ∠MCD. Угол между лучом MK и хордой MD равен вписанному углу MCD, опирающемуся на MD, поэтому по обратной теореме прямая ℓ касается окружности MCD в точке M. Значит, ℓ — общая касательная.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →