Условие
Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.
Разбор задания
Номер 821 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть прямые пересекаются в точке P, окружность с центром O отсекает на них равные хорды AB и CD, M и N — середины хорд. Равные хорды равноудалены от центра: OM = ON, причём OM ⟂ AB, ON ⟂ CD.
- Прямоугольные треугольники OMP и ONP равны по гипотенузе OP и катету, поэтому PM = PN.
- Пусть A и C — концы хорд, ближайшие к P (B и D — дальние). Тогда PA = |PM − AM|, PC = |PN − CN|, а AM = CN = ½AB; значит PA = PC. Аналогично PB = PM + MB = PN + ND = PD (для P вне окружности; для P внутри окружности PA = AM − PM = CN − PN = PC, PB = PM + MB = PD).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →