Условие
Через точку K, лежащую на окружности с центром O, проведены хорда KA и касательная KB, а через точку O проведена прямая, перпендикулярная к прямой OA и пересекающая хорду KA в точке M, а касательную KB — в точке N. Докажите, что NK = NM.
Разбор задания
Номер 822 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Угол между касательной KB и хордой KA равен половине дуги KA, то есть половине центрального угла: ∠NKM = ½∠KOA.
- Треугольник OKA равнобедренный (OK = OA), поэтому ∠OAK = 90° − ½∠KOA. В прямоугольном треугольнике OMA (OM ⟂ OA) ∠OMA = 90° − ∠OAK = ½∠KOA.
- Угол NMK равен углу OMA (вертикальные или совпадающие углы, в зависимости от расположения), значит ∠NMK = ½∠KOA = ∠NKM, и треугольник NKM равнобедренный: NK = NM.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →