Номер 825 — Геометрия 11 класс

Хорды AB и CD взаимно перпендикулярны, луч AB является биссектрисой угла DAE (E — точка окружности). Докажите, что AE ⟂ BC. Рассмотрите все возможные случаи.

1. Пусть P = AB ∩ CD, ∠APD = 90°, и пусть прямые AE и BC пересекаются в точке Q. Рассмотрим треугольник AQB.
2. Основной случай (точки расположены так, что P лежит на хордах, E и C по одну сторону от AB): ∠QAB = ∠EAB = ∠BAD (AB — биссектриса), ∠QBA = ∠CBA = ∠CDA (вписанные углы, опирающиеся на дугу AC). В прямоугольном треугольнике APD: ∠BAD + ∠CDA = ∠PAD + ∠PDA = 90°. Значит, ∠QAB + ∠QBA = 90° и ∠AQB = 90°, то есть AE ⟂ BC.
3. Другие случаи расположения (E на другой дуге, Q вне окружности) отличаются лишь тем, что углы треугольника AQB при A и B равны не самим углам BAD и CDA, а смежным с ними (или один из них — смежный, другой — вертикальный): каждый раз ∠QAB и ∠QBA равны ∠BAD и ∠CDA либо дополняют их до 180° одновременно, и сумма ∠QAB + ∠QBA вновь равна 90°. Если же AE ∥ BC, то E и C симметричны относительно диаметра, перпендикулярного BC, и условие биссектрисы даёт совпадение точек — этот случай вырожденный.