Номер 828 — Геометрия 11 класс

В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD = BC + AD.

1. Пусть P ∈ CD — точка пересечения биссектрис, r — расстояние от P до прямой AB. Точка P равноудалена от прямых AB, AD (биссектриса угла A) и от AB, BC (биссектриса угла B), значит от всех трёх прямых AD, AB, BC расстояние равно r.
2. Обозначим углы четырёхугольника A, B, C, D; из вписанности C = 180° − A, D = 180° − B. Проекции: в треугольнике APB с углами A/2 и B/2 при основании AB = r·ctg(A/2) + r·ctg(B/2).
3. Расстояние от P до прямой AD равно r, а угол между лучами DP (= DC) и DA равен D, поэтому r = DP·sin D = DP·sin B и DP = r/sin B; аналогично PC = r/sin C = r/sin A. Значит, CD = r(1/sin A + 1/sin B).
4. Пусть L — основание перпендикуляра из P на прямую AD. Тогда AL = r·ctg(A/2), а LD = r·ctg(∠PDL); ∠PDL равен D или 180° − D = B в зависимости от того, лежит ли L на отрезке AD или за точкой D, и в обоих случаях AD = r(ctg(A/2) − ctg B). Аналогично BC = r(ctg(B/2) − ctg A).
5. Используем тождество ctg(x/2) − ctg x = 1/sin x: AD + BC = r(ctg(A/2) − ctg A) + r(ctg(B/2) − ctg B) = r/sin A + r/sin B = CD.