Условие
Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
Разбор задания
Номер 829 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть ABCD вписан в окружность. На диагонали BD возьмём точку K так, что ∠BAK = ∠CAD (K существует, так как ∠CAD < ∠BAD).
- Треугольники ABK и ACD подобны по двум углам: ∠BAK = ∠CAD по построению, ∠ABK = ∠ABD = ∠ACD (вписанные, на дуге AD). Отсюда AB/AC = BK/CD, то есть AB·CD = AC·BK.
- Треугольники AKD и ABC подобны: ∠KAD = ∠KAC + ∠CAD = ∠KAC + ∠BAK = ∠BAC, а ∠ADK = ∠ADB = ∠ACB (вписанные углы, опирающиеся на дугу AB). Отсюда AD/AC = KD/BC, то есть AD·BC = AC·KD.
- Складывая: AB·CD + AD·BC = AC(BK + KD) = AC·BD.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →