Условие
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
Разбор задания
Номер 827 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть ABCD вписан в окружность радиуса R, AC ⟂ BD, P = AC ∩ BD. По следствию из теоремы синусов AB = 2R·sin∠ACB, CD = 2R·sin∠CAD.
- В прямоугольном треугольнике APD: ∠PAD + ∠PDA = 90°, а ∠PDA = ∠BDA = ∠BCA (вписанные углы на дуге AB). Значит, ∠CAD + ∠ACB = 90° и sin∠CAD = cos∠ACB.
- AB² + CD² = 4R²(sin²∠ACB + cos²∠ACB) = 4R² = (2R)². Для другой пары сторон рассуждение то же.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →