Номер 830 — Геометрия 11 класс

На окружности даны четыре точки A, B, C и D в указанном порядке. Точка M — середина дуги AB (не содержащей C и D), K — точка пересечения хорд AB и MD, E — точка пересечения хорд AB и MC. Докажите, что около четырёхугольника CDKE можно описать окружность.

1. Угол между хордами AB и MD в точке K: ∠AKD = ½(⌣AD + ⌣MB) (дуги, заключённые внутри угла и внутри вертикального ему угла).
2. Вписанный угол DCM опирается на дугу DM: ∠DCM = ½⌣DM = ½(⌣DA + ⌣AM) = ½(⌣AD + ⌣MB), так как ⌣AM = ⌣MB.
3. Итак, ∠AKD = ∠DCE. Точки K и E лежат на AB (K между A и E), поэтому ∠DKE = 180° − ∠AKD = 180° − ∠DCE. В четырёхугольнике CDKE сумма противоположных углов K и C равна 180°, значит около него можно описать окружность.