Номер 861 — Геометрия 11 класс

На стороне AC треугольника ABC отмечены точки P и E, а на стороне BC — точки M и K, причём AP : PE : EC = CK : KM : MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, а отрезки AK и BE — в точке T. Докажите, что точки O, T и C лежат на одной прямой.

1. Пусть AP : PE : EC = CK : KM : MB = x : y : z, где x + y + z = 1. Введём векторы a⃗ = CA⃗, b⃗ = CB⃗. Тогда CP⃗ = (1 − x)a⃗, CE⃗ = z·a⃗, CK⃗ = x·b⃗, CM⃗ = (1 − z)b⃗.
2. Точка O лежит на AM: CO⃗ = (1 − s)a⃗ + s(1 − z)b⃗, и на BP: CO⃗ = t(1 − x)a⃗ + (1 − t)b⃗. Из единственности разложения: 1 − s = t(1 − x), s(1 − z) = 1 − t. Решая, s = x/(x + z − xz), и CO⃗ = [z(1 − x)a⃗ + x(1 − z)b⃗]/(x + z − xz).
3. Точка T лежит на AK: CT⃗ = (1 − u)a⃗ + ux·b⃗, и на BE: CT⃗ = vz·a⃗ + (1 − v)b⃗. Из 1 − u = vz, ux = 1 − v получаем u = (1 − z)/(1 − xz), и CT⃗ = [z(1 − x)a⃗ + x(1 − z)b⃗]/(1 − xz).
4. Векторы CO⃗ и CT⃗ пропорциональны одному и тому же вектору z(1 − x)a⃗ + x(1 − z)b⃗, значит коллинеарны, и точки C, O, T лежат на одной прямой.