Номер 860 — Геометрия 11 класс

Окружность пересекает сторону BC треугольника ABC в точках A₁ и A₂, сторону AC — в точках B₁ и B₂, сторону AB — в точках C₁ и C₂. Докажите, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

1. По теореме о произведении отрезков секущих (степень точки): BA₁·BA₂ = BC₁·BC₂, CB₁·CB₂ = CA₁·CA₂, AC₁·AC₂ = AB₁·AB₂.
2. Перемножим произведения из условий Чевы для двух троек точек: [(BA₁/A₁C)(CB₁/B₁A)(AC₁/C₁B)]·[(BA₂/A₂C)(CB₂/B₂A)(AC₂/C₂B)] = (BA₁·BA₂)/(BC₁·BC₂) · (CB₁·CB₂)/(CA₁·CA₂) · (AC₁·AC₂)/(AB₁·AB₂) = 1·1·1 = 1.
3. Значит, первое произведение равно 1 тогда и только тогда, когда второе равно 1, а по теореме Чевы это и есть условие пересечения соответствующих отрезков в одной точке.