Номер 862 — Геометрия 11 класс

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (либо на одной из сторон и продолжениях двух других сторон) отмечены соответственно точки C₁, A₁ и B₁. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда: а) (sin∠ACC₁/sin∠C₁CB)·(sin∠BAA₁/sin∠A₁AC)·(sin∠CBB₁/sin∠B₁BA) = 1; б) для любой точки O, не лежащей на прямых AB, BC и CA, выполняется равенство (sin∠AOC₁/sin∠C₁OB)·(sin∠BOA₁/sin∠A₁OC)·(sin∠COB₁/sin∠B₁OA) = 1.

1. Основное наблюдение: если точка X лежит на прямой AB, а точка Y — вне её, то AX/XB = S(AXY)/S(XBY) = (YA·sin∠AYX)/(YB·sin∠XYB) (площади треугольников с общей высотой из Y и с общей вершиной Y).
2. а) Применим это с Y = C, A, B: AC₁/C₁B = (CA·sin∠ACC₁)/(CB·sin∠C₁CB), BA₁/A₁C = (AB·sin∠BAA₁)/(AC·sin∠A₁AC), CB₁/B₁A = (BC·sin∠CBB₁)/(BA·sin∠B₁BA). Перемножая, длины сторон сокращаются: (AC₁/C₁B)(BA₁/A₁C)(CB₁/B₁A) = произведение синусных отношений. По теореме Чевы (и обратной) прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда левая часть равна 1, то есть когда равно 1 произведение синусов.
3. б) Применим то же наблюдение с одной и той же точкой Y = O: AC₁/C₁B = (OA·sin∠AOC₁)/(OB·sin∠C₁OB), BA₁/A₁C = (OB·sin∠BOA₁)/(OC·sin∠A₁OC), CB₁/B₁A = (OC·sin∠COB₁)/(OA·sin∠B₁OA). Перемножая, множители OA, OB, OC сокращаются, и условие Чевы равносильно равенству произведения синусов единице.