Номер 481 — Алгебра 8 класс

(Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натуральном n значение выражения √(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1) является натуральным числом? 1) Выберите произвольное значение n и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня. 2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата. 3) Докажите утверждение.

1. 1) При n = 2: √(2 · 3 · 4 · 5 + 1) = √121 = 11 — натуральное число. При n = 1: √(1 · 2 · 3 · 4 + 1) = √25 = 5.
2. 2) Группируем крайние и средние множители: n(n + 3) = n² + 3n и (n + 1)(n + 2) = n² + 3n + 2. Обозначим t = n² + 3n, тогда произведение равно t(t + 2).
3. 3) Подкоренное выражение: t(t + 2) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)². Значит, √(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1) = t + 1 = n² + 3n + 1 — натуральное число при любом натуральном n.