Номер 552 — Алгебра 8 класс

(Задача-исследование.) Решите уравнения: а) x² − 5x + 6 = 0 и 6x² − 5x + 1 = 0; б) 2x² − 13x + 6 = 0 и 6x² − 13x + 2 = 0. 1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая — задание б). 2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений ax² + bx + c = 0 и cx² + bx + a = 0. 3) Докажите, что ваше предположение верно.

1. а) x² − 5x + 6 = 0: D = 1, корни 2 и 3. 6x² − 5x + 1 = 0: D = 1, корни (5 ± 1)/12, то есть 1/3 и 1/2.
2. б) 2x² − 13x + 6 = 0: D = 169 − 48 = 121, корни (13 ± 11)/4, то есть 1/2 и 6. 6x² − 13x + 2 = 0: D = 121, корни (13 ± 11)/12, то есть 1/6 и 2.
3. 2) Предположение: корни уравнения cx² + bx + a = 0 — числа, обратные корням уравнения ax² + bx + c = 0.
4. 3) Доказательство: пусть x₀ ≠ 0 — корень ax² + bx + c = 0, то есть ax₀² + bx₀ + c = 0. Разделим на x₀²: a + b/x₀ + c/x₀² = 0, то есть c(1/x₀)² + b(1/x₀) + a = 0. Значит, 1/x₀ — корень уравнения cx² + bx + a = 0 (при a ≠ 0 и c ≠ 0 нулевых корней у уравнений нет).