Номер 613 — Алгебра 8 класс

(Задача-исследование.) Выясните, какой из прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, имеет наибольшую площадь. Вычислите эту площадь. 1) Обозначьте длину одного из катетов через x см и составьте выражение для вычисления площади треугольника. 2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение. 3) Вычислите, чему равна наибольшая площадь.

1. 1) Если один катет x см, то другой (6 − x) см, а площадь S = x(6 − x)/2 = (6x − x²)/2, где 0 < x < 6.
2. 2) Выделяем квадрат: S = −(x² − 6x)/2 = −((x − 3)² − 9)/2 = 4,5 − (x − 3)²/2. Вычитаемое неотрицательно и равно нулю при x = 3, поэтому наибольшее значение S достигается при x = 3.
3. 3) Наибольшая площадь 4,5 см² — у равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 3 см.