Условие
Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна a, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.
Разбор задания
Номер 1029 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · Повторение · страница 61
Решение
- Пусть AB = a, ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ = 180° − α − β.
- Биссектриса AL (L на BC): в треугольнике ABL ∠BAL = α/2, ∠ALB = 180° − β − α/2. По теореме синусов AL = a·sin β/sin(180° − β − α/2) = a·sin β/sin(β + α/2).
- Аналогично биссектриса из B: BK = a·sin α/sin(α + β/2).
- Биссектриса из C (CM, M на AB): AC = a·sin β/sin γ, в треугольнике ACM ∠ACM = γ/2, ∠AMC = 180° − α − γ/2, CM = AC·sin α/sin(α + γ/2). Так как α + γ/2 = 90° + (α − β)/2, то sin(α + γ/2) = cos((α − β)/2), и CM = a·sin α·sin β/(sin(α + β)·cos((α − β)/2)).
Ответ
a·sin β/sin(β + α/2); a·sin α/sin(α + β/2); a·sin α·sin β/(sin(α + β)·cos((α − β)/2)).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →