Условие
Смежные стороны параллелограмма равны a и b, а один из его углов равен α. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.
Разбор задания
Номер 1030 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · Повторение · страница 61
Решение
- Углы параллелограмма равны α и 180° − α. По теореме косинусов диагонали: d₁² = a² + b² − 2ab·cos α (лежит против угла α), d₂² = a² + b² + 2ab·cos α (против угла 180° − α).
- Пусть φ — угол между диагоналями, лежащий против стороны a в треугольнике из половин диагоналей: a² = (d₁/2)² + (d₂/2)² − 2·(d₁/2)(d₂/2)·cos φ, откуда cos φ = (d₁² + d₂² − 4a²)/(2d₁d₂) = (2b² − 2a²)/(2d₁d₂) = (b² − a²)/(d₁d₂).
- Итак, cos φ = (b² − a²)/√((a² + b²)² − 4a²b²cos²α); второй угол между диагоналями равен 180° − φ.
Ответ
d₁ = √(a² + b² − 2ab·cos α), d₂ = √(a² + b² + 2ab·cos α); cos φ = (b² − a²)/(d₁d₂).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →