Номер 1033 — Геометрия 9 класс

Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

1. Пусть R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Проведём диаметр BD. Вписанный угол BCD опирается на диаметр, значит ∠BCD = 90°, и из прямоугольного треугольника BCD: BC = BD·sin∠BDC = 2R·sin∠BDC.
2. Если угол A острый, то точки A и D лежат по одну сторону от BC и ∠BDC = ∠A (вписанные на дуге BC). Если A тупой, то ∠BDC = 180° − ∠A, и sin∠BDC = sin A. Если ∠A = 90°, BC — диаметр и sin A = 1.
3. Во всех случаях BC = 2R·sin A, то есть BC/sin A = 2R. Аналогично для других сторон.