Условие
Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то 4AM² = AB² + AC² + 2AB·AC·cos A. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.
Разбор задания
Номер 1054 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · Повторение · страница 66
Решение
- AM⃗ = ½(AB⃗ + AC⃗), поэтому 4AM² = (AB⃗ + AC⃗)² = AB² + 2AB⃗·AC⃗ + AC² = AB² + AC² + 2AB·AC·cos A.
- Пусть в треугольнике ABC AB = AC = b, BC = a. Медиана BB₁ к стороне AC: 4BB₁² = BA² + BC² + 2BA·BC·cos B = b² + a² + 2ab·cos B. Медиана CC₁ к стороне AB: 4CC₁² = CA² + CB² + 2CA·CB·cos C = b² + a² + 2ab·cos C.
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны: cos B = cos C, значит BB₁ = CC₁.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →