Условие
Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
Разбор задания
Номер 1055 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · Повторение · страница 66
Решение
- Пусть AB = AC = b, BC = a, медианы BB₁ и CC₁ пересекаются в точке G. По симметрии GB = GC, а ∠BGC = 90°, поэтому BC² = 2GB², то есть a² = 2·(⅔m_b)² = 8m_b²/9.
- По формуле медианы m_b² = (2a² + 2b² − b²)/4 = (2a² + b²)/4. Тогда a² = 8(2a² + b²)/36 = 2(2a² + b²)/9, 9a² = 4a² + 2b², 5a² = 2b², a² = 0,4b².
- По теореме косинусов cos A = (b² + b² − a²)/(2b²) = (2b² − 0,4b²)/(2b²) = 0,8. ∠A = arccos 0,8 ≈ 36°52'.
Ответ
arccos 0,8 ≈ 36°52'.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →