Условие
Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Разбор задания
Номер 1059 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · Повторение · страница 67
Решение
- Пусть диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника пересекаются в точке O под углом φ (углы AOB, BOC, COD, DOA равны φ или 180° − φ, синусы у них одинаковы).
- S = S(AOB) + S(BOC) + S(COD) + S(DOA) = ½·sin φ·(OA·OB + OB·OC + OC·OD + OD·OA) = ½·sin φ·(OA + OC)(OB + OD) = ½·AC·BD·sin φ.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →