Условие
Докажите, что если векторы AB⃗ и CD⃗ равны, то середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то AB⃗ = CD⃗.
Разбор задания
Номер 750 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 9. Векторы · страница 7
Решение
- Прямое утверждение. Пусть AB⃗ = CD⃗. Если точки A, B, C, D не лежат на одной прямой, то AB ∥ CD, AB = CD и векторы сонаправлены, поэтому ABDC — параллелограмм (две стороны равны и параллельны). Его диагонали AD и BC точкой пересечения делятся пополам, значит их середины совпадают.
- Если все точки на одной прямой, введём на ней координату: b − a = d − c, откуда a + d = b + c, то есть (a + d)/2 = (b + c)/2 — середины совпадают.
- Обратное. Пусть середины AD и BC совпадают в точке O. Если точки не на одной прямой, то ABDC — четырёхугольник, диагонали которого делятся точкой пересечения пополам, значит это параллелограмм: AB ∥ CD, AB = CD, и векторы AB⃗, CD⃗ сонаправлены (обход A → B и C → D идёт по противоположным сторонам в одну сторону). Итак, AB⃗ = CD⃗. На одной прямой: a + d = b + c даёт b − a = d − c.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →