Условие
Дан выпуклый шестиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆, все углы которого равны. Докажите, что A₁A₂ − A₄A₅ = A₅A₆ − A₂A₃ = A₃A₄ − A₆A₁.
Разбор задания
Номер 811 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 9. Векторы · страница 19
Решение
- Сумма углов шестиугольника 720°, значит каждый угол равен 120°, а каждый внешний угол — 60°.
- Продолжим стороны A₆A₁, A₂A₃ и A₄A₅ до попарного пересечения. Прямые A₆A₁ и A₂A₃ вместе со стороной A₁A₂ образуют треугольник с углами при A₁ и A₂ по 60° (внешние углы шестиугольника) — равносторонний треугольник со стороной A₁A₂. Точно так же на сторонах A₃A₄ и A₅A₆ отсекаются равносторонние треугольники.
- Три продолженные прямые образуют большой треугольник с углами по 60° — равносторонний. Его стороны: на прямой A₂A₃ лежит отрезок A₁A₂ + A₂A₃ + A₃A₄ (сторона A₂A₃ плюс стороны двух отсечённых треугольников), на прямой A₄A₅ — A₃A₄ + A₄A₅ + A₅A₆, на прямой A₆A₁ — A₅A₆ + A₆A₁ + A₁A₂.
- Приравнивая стороны равностороннего треугольника: A₁A₂ + A₂A₃ + A₃A₄ = A₃A₄ + A₄A₅ + A₅A₆ даёт A₁A₂ − A₄A₅ = A₅A₆ − A₂A₃; A₃A₄ + A₄A₅ + A₅A₆ = A₅A₆ + A₆A₁ + A₁A₂ даёт A₃A₄ − A₆A₁ = A₁A₂ − A₄A₅.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →