Номер 812 — Геометрия 9 класс

Положительные числа a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ и a₆ удовлетворяют условиям a₁ − a₄ = a₅ − a₂ = a₃ − a₆. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆, все углы которого равны, причём A₁A₂ = a₁, A₂A₃ = a₂, A₃A₄ = a₃, A₄A₅ = a₄, A₅A₆ = a₅ и A₆A₁ = a₆.

1. Из условий: a₁ + a₂ = a₄ + a₅ и a₃ + a₄ = a₆ + a₁. Тогда a₁ + a₂ + a₃ = a₃ + a₄ + a₅ = a₅ + a₆ + a₁ — обозначим это число s.
2. Построим равносторонний треугольник со стороной s. От его вершин отсечём равносторонние треугольники со сторонами a₁, a₃, a₅ (по одному при каждой вершине: при первой вершине — со стороной a₁ и т. д.). Это возможно, так как a₁ + a₃ < s, a₃ + a₅ < s, a₅ + a₁ < s (в каждой сумме не хватает положительного слагаемого).
3. Останется шестиугольник, все углы которого равны 120° (углы отсечённых треугольников по 60° дополняют их до 180°), а его стороны по порядку: a₁ (сторона отсечённого треугольника), затем s − a₁ − a₃ = a₂, затем a₃, затем s − a₃ − a₅ = a₄, затем a₅, затем s − a₅ − a₁ = a₆.
4. Шестиугольник выпуклый, поскольку все его углы меньше 180°.