Условие
Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.
Разбор задания
Номер 815 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 9. Векторы · страница 20
Решение
- Рассмотрим четырёхугольник ABCD и прямую AC. Если B и D лежат по разные стороны от неё — утверждение доказано.
- Пусть B и D лежат по одну сторону от прямой AC. Тогда лучи AB и AD лежат в одной полуплоскости, и один из них проходит внутри угла, образованного другим и лучом AC. Пусть, например, луч AD лежит внутри угла BAC (второй случай симметричен).
- Луч, проходящий внутри угла BAC, пересекает отрезок BC в некоторой точке P. Если бы точка D лежала за точкой P (или совпадала с ней), стороны AD и BC имели бы общую точку, что невозможно для четырёхугольника. Значит, D лежит на отрезке AP, то есть внутри треугольника ABC.
- Прямая BD проходит через вершину B и внутреннюю точку D треугольника ABC, поэтому пересекает сторону AC во внутренней точке, и вершины A и C лежат по разные стороны от прямой BD.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →