Номер 813 — Геометрия 9 класс

Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырёхугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

1. Пусть плитка — выпуклый четырёхугольник ABCD с углами α, β, γ, δ (α + β + γ + δ = 360°). Приложим к ней вторую такую же плитку по стороне BC, повернув её на 180° вокруг середины BC (центральная симметрия относительно середины стороны). Получится равный четырёхугольник, у которого к вершине B исходной плитки примыкает угол γ, а к вершине C — угол β.
2. Повторяя центральные симметрии относительно середин сторон, получаем, что вокруг каждой вершины паркета сходятся четыре плитки с углами α, β, γ, δ — по одному углу каждого вида, — и их сумма равна 360°. Поэтому плитки прилегают друг к другу без зазоров и наложений.
3. Пара плиток, симметричных относительно середины BC, образует центрально-симметричный шестиугольник; его параллельные переносы на векторы, равные удвоенным диагоналям (2AC⃗ и 2BD⃗), заполняют всю плоскость. Значит, любую часть плоскости можно покрыть такими плитками.