Номер 832 — Геометрия 9 класс

Точки P, Q, R и T соответственно — середины сторон AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что при пересечении прямых AQ, BR, CT и DP образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма ABCD.

1. AT = QC и AT ∥ QC (половины противоположных сторон), поэтому AQCT — параллелограмм и AQ ∥ CT. Так же BP = DR, BP ∥ DR, значит BPDR — параллелограмм и BR ∥ DP. Четырёхугольник KLMN, образованный четырьмя прямыми (K = AQ ∩ DP, L = AQ ∩ BR, M = BR ∩ CT, N = CT ∩ DP), имеет попарно параллельные противоположные стороны — это параллелограмм.
2. Найдём положение L на AQ. Продолжим BR до пересечения с прямой AD в точке X. Треугольники DRX и CRB равны (DR = RC, вертикальные углы, накрест лежащие углы при AD ∥ BC), поэтому DX = BC = AD и AX = 2AD = 4BQ. Из подобия треугольников LBQ и LXA (BQ ∥ AX): LQ/LA = BQ/AX = 1/4, значит AL = ⅘AQ.
3. S(ABL) = ⅘S(ABQ), а S(ABQ) = ½·BQ·h = ¼S(ABCD) (BQ = ½BC, h — высота параллелограмма). Итак, S(ABL) = ⅕S(ABCD); так же S(BCM) = S(CDN) = S(DAK) = ⅕S(ABCD).
4. Четыре прямые разбивают ABCD на параллелограмм KLMN, четыре треугольника при серединах сторон (например, APK) и четыре четырёхугольника (например, PBLK); треугольник ABL как раз состоит из APK и PBLK. Поэтому треугольники ABL, BCM, CDN, DAK не перекрываются и вместе с KLMN покрывают весь параллелограмм: S(KLMN) = S(ABCD) − 4·⅕S(ABCD) = ⅕S(ABCD).