Условие
На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты точки M и K, а на отрезке MK — точка P так, что AM/MC = CK/KB = MP/PK. Найдите площадь треугольника ABC, если площади треугольников AMP и BKP равны S₁ и S₂.
Разбор задания
Номер 831 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 23
Решение
- Пусть общее отношение равно λ, S = S(ABC). Тогда AM/AC = λ/(1 + λ), CK/CB = λ/(1 + λ), MP/MK = λ/(1 + λ), а MC/AC = KB/CB = PK/MK = 1/(1 + λ).
- Переходим по цепочке треугольников с общей высотой: S(AMP)/S(AMK) = MP/MK, S(AMK)/S(ACK) = AM/AC, S(ACK)/S(ABC) = CK/CB. Перемножая: S₁ = S·(λ/(1 + λ))³.
- Аналогично S(BKP)/S(BKM) = PK/MK, S(BKM)/S(BCM) = BK/BC, S(BCM)/S(ABC) = CM/CA, откуда S₂ = S/(1 + λ)³.
- Тогда S₁/S₂ = λ³, λ = ∛(S₁/S₂), и S = S₂(1 + λ)³ = S₂(1 + ∛S₁/∛S₂)³ = (∛S₁ + ∛S₂)³.
Ответ
S = (∛S₁ + ∛S₂)³.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →