Номер 835 — Геометрия 9 класс

Через концы меньшего основания трапеции проведены две параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь пятиугольника равна сумме площадей трёх треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию трапеции.

1. Пусть ABCD — трапеция с меньшим основанием BC, прямые BE ∥ CF (E, F на AD), O = AC ∩ BD, P = AC ∩ BE, Q = BD ∩ CF. Семь треугольников: ABP (при стороне AB), BOC (при основании BC), CQD (при стороне CD), BPO, COQ, APE, FQD; пятиугольник — EFQOP.
2. BC ∥ EF и BE ∥ CF, значит BCFE — параллелограмм с основанием BC и высотой h, равной высоте трапеции: S(BCFE) = BC·h = 2S(ABC) = 2S(DBC) (у треугольников ABC и DBC то же основание BC и та же высота h).
3. Параллелограмм BCFE состоит из пятиугольника EFQOP и треугольников BPO, BOC, COQ. Треугольник ABC делится отрезками BP и BO на треугольники ABP, BPO, BOC; треугольник DBC делится на DCQ, CQO, BOC.
4. S(EFQOP) = S(BCFE) − S(BPO) − S(BOC) − S(COQ) = S(ABC) + S(DBC) − S(BPO) − S(BOC) − S(COQ) = [S(ABP) + S(BPO) + S(BOC)] + [S(DCQ) + S(CQO) + S(BOC)] − S(BPO) − S(BOC) − S(COQ) = S(ABP) + S(BOC) + S(CQD).