Условие
Прямая, проходящая через середины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках M и K. Докажите, что площади треугольников DCM и AKB равны.
Разбор задания
Номер 836 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 24
Решение
- Прямая MK проходит через середину отрезка AC, поэтому точки A и C равноудалены от неё (лежат по разные стороны): d(A) = d(C). Так же d(B) = d(D), поскольку прямая проходит через середину BD.
- Точка K лежит на стороне CD, поэтому отрезок MK делит треугольник DCM на треугольники DMK и CMK с общим основанием MK: S(DCM) = ½MK·d(D) + ½MK·d(C).
- Точка M лежит на AB, поэтому S(AKB) = S(AKM) + S(BKM) = ½MK·d(A) + ½MK·d(B).
- Так как d(A) = d(C) и d(B) = d(D), получаем S(DCM) = S(AKB).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →