Условие
Сторона AB параллелограмма ABCD продолжена за точку B на отрезок BE, а сторона AD продолжена за точку D на отрезок DK. Прямые ED и KB пересекаются в точке O. Докажите, что площади четырёхугольников ABOD и CEOK равны.
Разбор задания
Номер 837 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 24
Решение
- Точка O лежит внутри треугольника BCD: отрезок ED входит в него через сторону BC, отрезок KB — через сторону CD, и они пересекаются внутри. Поэтому S(BCD) = S(OBC) + S(OCD) + S(OBD).
- Точки K и D лежат на прямой AD ∥ BC, значит треугольники KCB и DCB имеют равные высоты к BC: S(KCB) = S(DCB). Так как O ∈ KB, то S(KCO) = S(KCB) − S(OCB) = S(BCD) − S(OBC) = S(OCD) + S(OBD).
- Точки E и B лежат на прямой AB ∥ CD, поэтому S(ECD) = S(BCD). Так как O ∈ ED, то S(ECO) = S(ECD) − S(OCD) = S(OBC) + S(OBD).
- S(CEOK) = S(ECO) + S(KCO) = S(OBC) + S(OCD) + 2S(OBD). С другой стороны, S(ABOD) = S(ABD) + S(OBD) = S(BCD) + S(OBD) = S(OBC) + S(OCD) + 2S(OBD). Площади равны.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →