Номер 839 — Геометрия 9 класс

Середины K и M сторон AB и DC выпуклого четырёхугольника ABCD соединены отрезками KD, KC, MA и MB соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам AD и BC.

1. Пусть P = KD ∩ MA, Q = KC ∩ MB. Внутренний четырёхугольник — KQMP, треугольники при сторонах AD и BC — APD и BQC.
2. Расстояние от середины K отрезка AB до прямой DC равно полусумме расстояний от A и B, поэтому S(KDC) = ½(S(ADC) + S(BDC)) = ½S. Аналогично S(AMB) = ½S. Значит, S(KDC) + S(AMB) = S.
3. Треугольники KDC и AMB пересекаются ровно по четырёхугольнику KQMP (он ограничен лучами KD, KC из K и MA, MB из M), а их объединение — весь четырёхугольник ABCD без треугольников APD и BQC.
4. Тогда S(KDC) + S(AMB) = S(объединения) + S(пересечения) = (S − S(APD) − S(BQC)) + S(KQMP). Приравнивая к S, получаем S(KQMP) = S(APD) + S(BQC).