Номер 838 — Геометрия 9 класс

Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника.

1. Пусть точки P₁, P₂ делят сторону AB на три равные части (AP₁ = P₁P₂ = P₂B), точки Q₁, Q₂ делят DC (DQ₁ = Q₁Q₂ = Q₂C), отрезки P₁Q₁ и P₂Q₂. Средняя часть — четырёхугольник P₁P₂Q₂Q₁, диагональ P₁Q₂ делит его на треугольники P₁P₂Q₂ и P₁Q₂Q₁.
2. S(P₁P₂Q₂) = ⅓S(ABQ₂) (основание P₁P₂ = ⅓AB, общая вершина Q₂). S(P₁Q₁Q₂) = ⅓S(P₁DC) (основание Q₁Q₂ = ⅓DC, вершина P₁).
3. Расстояние от точки, делящей отрезок, до прямой — среднее взвешенное расстояний концов: Q₂ делит DC так, что DQ₂ : Q₂C = 2 : 1, поэтому d(Q₂, AB) = ⅓d(D, AB) + ⅔d(C, AB) и S(ABQ₂) = ⅓S(ABD) + ⅔S(ABC). Аналогично P₁ делит AB так, что AP₁ : P₁B = 1 : 2, и S(P₁DC) = ⅔S(ADC) + ⅓S(BDC).
4. S(P₁P₂Q₂Q₁) = ⅓[⅓S(ABD) + ⅔S(ABC) + ⅔S(ADC) + ⅓S(BDC)] = ⅓[⅓(S(ABD) + S(BDC)) + ⅔(S(ABC) + S(ADC))] = ⅓[⅓S + ⅔S] = ⅓S, где S — площадь четырёхугольника.