Условие
Точка A лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки A до сторон угла равны a и b. Найдите расстояние от точки A до вершины угла.
Разбор задания
Номер 840 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 25
Решение
- Пусть O — вершина угла, P и Q — основания перпендикуляров из A на стороны, AP = a, AQ = b. В четырёхугольнике OPAQ углы P и Q прямые, поэтому ∠PAQ = 360° − 90° − 90° − 60° = 120°.
- По теореме косинусов в треугольнике APQ: PQ² = a² + b² − 2ab·cos 120° = a² + ab + b².
- Точки P и Q видят отрезок OA под прямым углом, значит лежат на окружности с диаметром OA. Хорда PQ этой окружности стягивает вписанный угол POQ = 60°, поэтому PQ = OA·sin 60° (в прямоугольном треугольнике с гипотенузой-диаметром OA катет PQ лежит против угла 60°).
- OA = PQ/sin 60° = 2√(a² + ab + b²)/√3 = 2√(3(a² + ab + b²))/3.
Ответ
OA = 2√(a² + ab + b²)/√3.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →