Условие
Прямая, проходящая через вершину C параллелограмма ABCD, пересекает прямые AB и AD в точках K и M. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников KBC и CDM равны соответственно S₁ и S₂.
Разбор задания
Номер 841 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 25
Решение
- Пусть K лежит на продолжении AB за B (тогда M — на продолжении AD за D). Треугольники KBC, KAM и CDM подобны: у них параллельные стороны (BC ∥ AM, KB ∥ DC).
- Пусть KB = x, AB = CD = c. Коэффициент подобия треугольников CDM и KBC равен CD/KB = c/x, поэтому S₂/S₁ = (c/x)², c/x = √(S₂/S₁).
- Коэффициент подобия KAM и KBC равен KA/KB = (x + c)/x = 1 + √(S₂/S₁), значит S(KAM) = S₁(1 + √(S₂/S₁))² = (√S₁ + √S₂)².
- S(ABCD) = S(KAM) − S₁ − S₂ = S₁ + 2√(S₁S₂) + S₂ − S₁ − S₂ = 2√(S₁S₂).
Ответ
2√(S₁S₂).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →