Номер 842 — Геометрия 9 класс

Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD проведена прямая, пересекающая отрезок AB в точке M и отрезок CD в точке K. Прямая, проведённая через точку K параллельно отрезку AB, пересекает отрезок BD в точке T, а прямая, проведённая через точку M параллельно отрезку CD, пересекает отрезок AC в точке E. Докажите, что прямые BE и CT параллельны.

1. Пусть O — точка пересечения диагоналей; M, O, K лежат на одной прямой, причём O между M и K.
2. KT ∥ AB, а M ∈ AB, значит KT ∥ MB. Треугольники OKT и OMB подобны (вертикальные углы при O, накрест лежащие углы при параллельных KT и MB): OT/OB = OK/OM.
3. ME ∥ CD, а K ∈ CD, значит ME ∥ KC. Треугольники OME и OKC подобны: OE/OC = OM/OK.
4. Перемножим: (OT/OB)·(OE/OC) = 1, то есть OT·OE = OB·OC, или OB/OT = OE/OC. Треугольники OBE и OTC имеют равные вертикальные углы при O и пропорциональные стороны, их заключающие, — они подобны, и ∠OBE = ∠OTC.
5. Эти углы — накрест лежащие при прямых BE, TC и секущей BD, значит BE ∥ CT.