Номер 846 — Геометрия 9 класс

Внутри прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C взята точка O так, что S(OAB) = S(OAC) = S(OBC). Докажите, что OA² + OB² = 5OC².

1. Из S(OAB) = S(OAC) следует, что точки B и C равноудалены от прямой AO, то есть прямая AO проходит через середину BC — AO лежит на медиане из A. Аналогично BO лежит на медиане из B. Значит, O — точка пересечения медиан, и OA = ⅔m_a, OB = ⅔m_b, OC = ⅔m_c.
2. Пусть катеты AC = b, BC = a. Медиана к гипотенузе m_c = AB/2 = √(a² + b²)/2. Медиана из A к середине BC: m_a² = b² + (a/2)²; из B: m_b² = a² + (b/2)².
3. OA² + OB² = 4/9·(m_a² + m_b²) = 4/9·(a² + b² + (a² + b²)/4) = 4/9·5/4·(a² + b²) = 5(a² + b²)/9.
4. OC² = 4/9·m_c² = 4/9·(a² + b²)/4 = (a² + b²)/9. Значит, OA² + OB² = 5OC².