Условие
В треугольнике ABC (AB ≠ AC) через середину M стороны BC проведена прямая, параллельная биссектрисе угла A, которая пересекает прямые AB и AC соответственно в точках D и E. Докажите, что BD = CE.
Разбор задания
Номер 848 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 26
Решение
- Пусть AL — биссектриса. ∠ADE = ∠BAL (соответственные при DE ∥ AL), ∠AED = ∠LAC (накрест лежащие), а ∠BAL = ∠LAC. Значит, ∠ADE = ∠AED и AD = AE.
- Через B проведём прямую, параллельную AC, до пересечения с прямой DE в точке F. Треугольники BMF и CME равны по стороне и двум прилежащим углам (BM = MC, вертикальные углы при M, накрест лежащие углы при BF ∥ CE): BF = CE.
- В треугольнике BDF: ∠BFD = ∠AED (соответственные при BF ∥ AC), ∠BDF = ∠ADE. Так как ∠ADE = ∠AED, то ∠BDF = ∠BFD и BD = BF.
- Итак, BD = BF = CE.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →