Условие
На рисунке 269 изображён правильный пятиугольник ABCDE (выпуклый пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны), F — точка пересечения диагоналей AD и BE. Докажите, что: а) треугольники AED и AFE подобны; б) DA/DF = DF/AF.
Разбор задания
Номер 847 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 26
Решение
- Сумма углов пятиугольника (5 − 2)·180° = 540°, каждый угол равен 108°. Треугольник AED равнобедренный (AE = ED) с углом E = 108°, поэтому ∠EAD = ∠EDA = 36°. Так же в треугольнике ABE: ∠ABE = ∠AEB = 36°.
- а) У треугольников AED и AFE угол A общий (∠FAE = ∠DAE = 36°), а ∠FEA = ∠BEA = 36° = ∠ADE. Треугольники подобны по двум углам (A ↔ A, E ↔ D, F ↔ E).
- б) Из подобия AE/AF = DA/AE, то есть AE² = DA·AF. В треугольнике DFE: ∠FDE = 36°, ∠DFE = 180° − ∠AFE = 180° − 108° = 72°, значит ∠DEF = 72° и DF = DE = AE.
- Подставляя DF вместо AE: DF² = DA·AF, откуда DA/DF = DF/AF.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →