Номер 850 — Геометрия 9 класс

Точки E и F лежат на стороне AB треугольника ABC, причём точка E лежит на отрезке AF и AE = BF. Прямая, проведённая через точку E параллельно стороне AC, пересекает прямую, проведённую через точку F параллельно стороне BC, в точке K. Докажите, что точка K лежит на медиане треугольника ABC, проведённой к стороне AB.

1. Пусть M — середина AB. Из AE = BF следует, что M — также середина EF (AM − AE = BM − BF).
2. EK ∥ AC и FK ∥ BC, поэтому ∠KEF = ∠CAB и ∠KFE = ∠CBA, и треугольник KEF подобен треугольнику CAB (K ↔ C, E ↔ A, F ↔ B) с коэффициентом k = EF/AB; точки K и C лежат по одну сторону от AB.
3. Тогда EM/AM = EF/AB = k = KE/CA, и треугольники KEM и CAM подобны по второму признаку (∠KEM = ∠CAM). Отсюда ∠KME = ∠CMA.
4. Лучи MK и MC образуют равные углы с лучом MA и лежат по одну сторону от AB, значит совпадают: точка K лежит на прямой CM — медиане треугольника.