Номер 849 — Геометрия 9 класс

Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.

1. Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — высоты остроугольного треугольника ABC, H — их точка пересечения. Докажем, что BB₁ — биссектриса угла A₁B₁C₁.
2. ∠AB₁H = ∠AC₁H = 90°, поэтому точки B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром AH, и ∠HB₁C₁ = ∠HAC₁ (вписанные, опираются на дугу HC₁). ∠HAC₁ = ∠A₁AB = 90° − ∠B.
3. Точно так же точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром CH (∠CA₁H = ∠CB₁H = 90°), и ∠HB₁A₁ = ∠HCA₁ = 90° − ∠B.
4. Значит, ∠HB₁C₁ = ∠HB₁A₁, то есть высота BB₁ делит угол A₁B₁C₁ пополам. Аналогично для двух других высот.