Номер 851 — Геометрия 9 класс

Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна a.

1. Пусть ABC — треугольник с прямым углом C, O — центр квадрата на гипотенузе AB. ∠AOB = 90° = ∠ACB, а точки C и O лежат по разные стороны от AB, поэтому четырёхугольник ACBO вписан в окружность (с диаметром AB).
2. ∠ACO = ∠ABO = 45° (вписанные углы на дуге AO), значит CO — биссектриса прямого угла C. Опустим из O перпендикуляры OP и OQ на прямые CA и CB: OP = OQ, и CPOQ — квадрат со стороной d = OC/√2.
3. Прямоугольные треугольники OPA и OQB равны по гипотенузе и катету (OA = OB, OP = OQ), поэтому PA = QB. Во вписанном четырёхугольнике ACBO ∠CAO + ∠CBO = 180°, значит один из этих углов не меньше 90°, другой не больше: одно из оснований P, Q лежит вне катета, другое — на катете.
4. Пусть P лежит на продолжении CA за A, Q — на CB. Тогда CA + CB = (CP − PA) + (CQ + QB) = CP + CQ = 2d, d = a/2, и OC = d√2 = a√2/2.