Номер 852 — Геометрия 9 класс

В треугольнике ABC ∠A = 180°/7 и ∠B = 360°/7. Докажите, что 1/BC = 1/AC + 1/AB.

1. Обозначим φ = 180°/7: ∠A = φ, ∠B = 2φ, ∠C = 4φ; BC = a, AC = b, AB = c. Опишем около треугольника окружность и на дуге AB, не содержащей C, отметим точку E с BE = BC.
2. Равные хорды BE и BC стягивают равные вписанные углы: ∠BAE = ∠BAC = φ. Точки E и C лежат по разные стороны от AB, поэтому ∠AEB = 180° − ∠ACB = 3φ, и ∠ABE = 7φ − φ − 3φ = 3φ. Треугольник ABE равнобедренный: AE = AB = c.
3. ∠EAC = ∠EAB + ∠BAC = 2φ = ∠ABC; вписанные углы EAC и ABC равны, значит равны хорды EC = AC = b. Итак, в четырёхугольнике EBCA: EB = BC = a, CA = b, AE = c, диагонали EC = b, BA = c.
4. На диагонали EC возьмём точку P с ∠EBP = ∠ABC (луч BP лежит внутри угла EBC, так как ∠EBC > ∠ABC). Треугольники EBP и ABC подобны по двум углам (∠EBP = ∠ABC, ∠BEP = ∠BEC = ∠BAC — вписанные на дуге BC): EP/AC = EB/AB, EP = ab/c. Треугольники PBC и ABE подобны (∠PBC = ∠EBC − ∠EBP = ∠EBA, ∠BCP = ∠BCE = ∠BAE — вписанные на дуге BE): PC/AE = BC/AB, PC = a.
5. EC = EP + PC: b = ab/c + a, то есть bc = ab + ac. Разделив на abc, получаем 1/a = 1/c + 1/b, то есть 1/BC = 1/AC + 1/AB.