Условие
Из точки M внутренней области угла AOB проведены перпендикуляры MP и MQ к его сторонам OA и OB. Из точек P и Q проведены перпендикуляры PR и QS соответственно к OB и OA. Докажите, что RS ⟂ OM.
Разбор задания
Номер 853 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 27
Решение
- Прямоугольные треугольники OPR (∠R = 90°) и OQS (∠S = 90°) имеют общий острый угол O, поэтому подобны: OR/OP = OS/OQ.
- Тогда треугольники ORS и OPQ подобны по второму признаку (общий угол O, OR/OP = OS/OQ), откуда ∠ORS = ∠OPQ.
- Точки P и Q видят отрезок OM под прямым углом, значит лежат на окружности с диаметром OM, и ∠OPQ = ∠OMQ (вписанные на дуге OQ). В прямоугольном треугольнике OQM: ∠OMQ = 90° − ∠MOQ.
- Пусть прямые RS и OM пересекаются в точке X. В треугольнике ORX: ∠ORX + ∠ROX = ∠ORS + ∠MOB = (90° − ∠MOQ) + ∠MOQ = 90°, значит ∠OXR = 90° и RS ⟂ OM.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →