Номер 855 — Геометрия 9 класс

Из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам AC и BC. Докажите, что: а) CD³ = AB·AE·BF; б) AE² + BF² + 3CD² = AB²; в) ∛(AE²) + ∛(BF²) = ∛(AB²).

1. Соотношения в прямоугольных треугольниках: CD² = AD·DB, AC·BC = AB·CD, AC² = AB·AD, BC² = AB·BD. В треугольнике ADC с высотой DE: AD² = AE·AC, откуда AE = AD²/AC; в треугольнике BDC: BF = BD²/BC.
2. а) AB·AE·BF = AB·AD²·BD²/(AC·BC) = AB·(AD·BD)²/(AB·CD) = CD⁴/CD = CD³.
3. б) CEDF — прямоугольник, его диагонали равны: EF = CD, и DE² + DF² = EF² = CD². Тогда AE² + BF² = (AD² − DE²) + (BD² − DF²) = AD² + BD² − CD². Так как AD² + BD² = (AD + BD)² − 2AD·BD = AB² − 2CD², получаем AE² + BF² = AB² − 3CD², то есть AE² + BF² + 3CD² = AB².
4. в) AD = AC²/AB, поэтому AE = AD²/AC = AC³/AB²; аналогично BF = BC³/AB². Тогда ∛(AE²) = AC²/∛(AB⁴), ∛(BF²) = BC²/∛(AB⁴), и их сумма равна (AC² + BC²)/∛(AB⁴) = AB²/∛(AB⁴) = ∛(AB²).