Номер 856 — Геометрия 9 класс

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Известно, что ∠ADP = ½∠PDC, ∠ADP = ⅔∠PAD и AD = BD = CD. а) Найдите все углы четырёхугольника. б) Докажите, что AB² = BP·BD.

1. а) Пусть ∠ADP = α; тогда ∠PDC = 2α, ∠PAD = 3α/2. Так как AD = BD = CD, точки A, B, C лежат на окружности с центром D радиуса AD.
2. Центральный угол ADB = α опирается на дугу AB, вписанный угол ACB на ту же дугу равен α/2. Центральный угол BDC = 2α, значит вписанный угол BAC = α.
3. ∠A = ∠BAC + ∠CAD = α + 3α/2 = 5α/2. ∠D = ∠ADB + ∠BDC = 3α. Треугольник ADC равнобедренный: ∠ACD = ∠CAD = 3α/2, и ∠C = ∠ACB + ∠ACD = α/2 + 3α/2 = 2α. Треугольники ABD и CBD равнобедренные: ∠B = ∠DBA + ∠DBC = ∠DAB + ∠DCB = 5α/2 + 2α = 9α/2.
4. Сумма углов: 5α/2 + 9α/2 + 2α + 3α = 12α = 360°, α = 30°. ∠A = 75°, ∠B = 135°, ∠C = 60°, ∠D = 90°.
5. б) У треугольников ABP и DBA общий угол B, а ∠BAP = ∠BAC = α = ∠BDA. Треугольники подобны по двум углам: AB/BD = BP/AB, откуда AB² = BP·BD.