Условие
Точка M не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма ABCD. Докажите, что существуют точки N, P и Q, расположенные так, что A, B, C и D являются соответственно серединами отрезков MN, NP, PQ и QM.
Разбор задания
Номер 857 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 28
Решение
- Построим точки последовательно: N — точка, симметричная M относительно A (тогда A — середина MN); P — симметричная N относительно B; Q — симметричная P относительно C.
- Осталось проверить, что D — середина QM. Возьмём произвольную точку O и запишем: ON⃗ = 2OA⃗ − OM⃗, OP⃗ = 2OB⃗ − ON⃗ = 2OB⃗ − 2OA⃗ + OM⃗, OQ⃗ = 2OC⃗ − OP⃗ = 2OC⃗ − 2OB⃗ + 2OA⃗ − OM⃗.
- Середина QM: ½(OQ⃗ + OM⃗) = OC⃗ − OB⃗ + OA⃗. Для параллелограмма OA⃗ + OC⃗ = OB⃗ + OD⃗ (диагонали делятся пополам одной точкой), поэтому OA⃗ + OC⃗ − OB⃗ = OD⃗. Значит, середина QM — точка D.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →