Условие
Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Разбор задания
Номер 859 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 28
Решение
- Пусть M, N — середины BC и AD, K, L — середины AB и CD. По задаче 858 MN⃗ = ½(BA⃗ + CD⃗), поэтому MN ≤ ½(AB + CD); точно так же KL⃗ = ½(BC⃗ + AD⃗) и KL ≤ ½(BC + AD).
- Сложим: MN + KL ≤ ½(AB + BC + CD + DA) = P/2. По условию достигается равенство, значит оба неравенства — равенства.
- Равенство |BA⃗ + CD⃗| = |BA⃗| + |CD⃗| возможно только для сонаправленных векторов: BA⃗ ↑↑ CD⃗, то есть AB ∥ CD. Аналогично BC⃗ ↑↑ AD⃗, BC ∥ AD. Четырёхугольник с попарно параллельными сторонами — параллелограмм.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →