Условие
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Треугольник ABO, где AB — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков OA, OD и BC, равносторонний.
Разбор задания
Номер 861 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 29
Решение
- Пусть K, L, M — середины OA, OD, BC. Треугольник COD подобен треугольнику AOB (AB ∥ CD), значит тоже равносторонний.
- BK — медиана равностороннего треугольника ABO, поэтому BK ⟂ AO, то есть ∠BKC = 90°. CL — медиана равностороннего треугольника COD, CL ⟂ OD, ∠BLC = 90°.
- M — середина гипотенузы BC прямоугольных треугольников BKC и BLC, поэтому MK = ML = MB = MC = BC/2.
- В равнобедренном треугольнике KMB ∠KMB = 180° − 2∠KBC, в треугольнике LMC ∠LMC = 180° − 2∠LCB. ∠KBC = ∠KBO + ∠OBC = 30° + ∠OBC, ∠LCB = 30° + ∠OCB, а ∠OBC + ∠OCB = 180° − ∠BOC = 180° − 120° = 60°. Тогда ∠KML = 180° − ∠KMB − ∠LMC = 2(∠KBC + ∠LCB) − 180° = 2·120° − 180° = 60°.
- Треугольник KML равнобедренный с углом 60° при вершине — равносторонний.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →